Es ist Zeit, dass man die "Achilles und die Schildkröte" Erzählung als falsches Urteil, als Fehlschluss und nicht als Trugschluss, als Paradoxon auffasst.

Im „Jahr der Mathematik“ 2008 erschien im Internet folgende Erzählung:

„Man sollte den Dingen immer genau auf den Grund gehen. Die Geschichte von Zenon von Elea (ca. 495-430 v. Chr.) schildert einen unglaublichen Wettkampf zwischen Achilles (dem schnellsten aller Läufer) und einer Schildkröte. Das Panzertier bittet den Athleten um einen kleinen Vorsprung: 100 Fuß. Für Achilles kein Problem - das habe er in kürzester Zeit aufgeholt! Richtig, so die Schildkröte, doch in dieser Zeit sei sie selbst ja wieder ein Stück weiter: 10 Fuß. Auch diese kurze Distanz hole er ja schnell auf, so der Läufer. Doch die Schildkröte weiß, dass sie auch dann wieder ein Stück weiter ist: 1 Fuß. Achilles ist genervt und beschimpft diese Rechnerei als lächerlich, aber die Schildkröte lässt sich nicht beirren. Sie sei immer ein kleines bisschen im Vorsprung, zwar immer weniger, aber doch immer ein Zehntel weiter. Absurd? Überholt wird die Schildkröte letztendlich bei 111,111 ... Fuß.“

Es ist die Erzählung eines Mathematikers, der meint die Absurdität gelöst zu haben. Gehen wir nun den Dingen genau auf den Grund:

"Überholt wird die Schildkröte letztendlich bei 111,111 ... Fuß.“ Die drei Punkte sollen doch andeuten, dass es kein endlich - kein Ende - gibt. Das ist eine unverständliche Aussage, lieber Mathematiker! Und was bedeuten die drei Einser nach dem Komma? Es gibt nur die Maßeinheit Fuß, ein Zehntel etc. sind nicht vereinbart.

Die unendliche Darstellung 111,111... ist im Dezimalsystem geschrieben. Die Zahl um die es hier eigentlich geht ist die Bruchzahl 1000:9, die eine endliche Darstellung ist. Wird diese Zahl im 9-er Stellenwertsystem geschrieben, so hat sie ebenfalls eine endliche Darstellung: 133,1. An der Zahl selbst ist nichts Unendliches, nur in ihrer Darstellung erscheint unendlich, weil die Maßeinheit nicht zur Aufgabe passt. Es gibt nämlich keine Längeneinheit für alle denkbaren Strecken.

Da Zenon sich auf die gelaufenen Strecken bezieht, geht es nicht mehr um Bewegung, sondern um die Spuren, welche die beiden erzeugen, nur diese werden verglichen. „Richtig, so die Schildkröte, doch in dieser Zeit sei sie selbst ja wieder ein Stück weiter: 10 Fuß.“ Achilles runzelt die Stirn: „Warum 10 Fuß und nicht 6 Fuß? Müssten wir nicht zuerst gegeneinander laufen, um festzustellen, wievielmal (bzw. um wieviel) schneller ich bin? Dann könnten wir von den erreichten Orten A1 und S1 zurücklaufen und würden gleichzeitig an unserer gemeinsamen Startlinie ankommen – dort würde ich dich einholen. Achilles schüttelt den Kopf: „So geht das nicht, liebe Schildkröte. Erzähl mir keine Märchen.